PROGRAMMATION LINEAIRE ( Modélisation)
Exercice 2
Un agriculteur souhaite mélanger des engrais de façon à obtenir au minimum 15 unités de potasse, 20 unités de nitrates et 24 unités de phosphates. Il achète deux types d’engrais.
— Le type 1 procure 3 unités de potasse, 1 unité de nitrates et 3 unités de phosphates. Il coûte 120 dh.— Le type 2 procure 1 unité de potasse, 5 unités de nitrates et 2 unités de phosphates. Il coûte 60 dh.
Exprimer à l’aide d’un programme linéaire la combinaison d’engrais qui remplira les conditions exigées au moindre coût.
Solution de l’exercice 2
Le coût est fonction des quantités achetées des deux types d’engrais.
Appelons :
x1 = la quantité d’engrais de type 1 à acheter
x2 = la quantité d’engrais de type 2 à acheter
2◦ Fonction objectif :
Le coût Z s’obtient à partir de l’expression,
Z = 120x1 + 60x2
L’objectif poursuivi consiste à trouver la combinaison des valeurs x1 et x2 qui minimise le coût Z:
Min Z= 120x1 + 60x2
3◦ Contraintes :
Les valeurs prises par x1 et x2 sont limitées par les exigences minimales du mélange. Ainsi, il convient de prendre en compte :
— Contraintes de mélange : Par exemple, il faut au moins 15 unités de potasse dans le mélange. Ce qui s’écrit :
3x1 + x2 ≥ 15
De même, pour les nitrates et le phosphate, on écrit
x1 + 5x2 ≥ 20
3x1 + 2x2 ≥ 24
— Contraintes de non-négativité : Elles assurent que les quantités achetées ne peuvent être que positives ou nulles :
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Le programme linéaire ainsi défini s’écrit :
Min z = 120x1 + 60x2
3x1 + x2 ≥ 15
x1 + 5x2 ≥ 20
3x1 + 2x2 ≥ 24
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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